Устные вопросы

Билет 25

Перевод чисел в позиционных системах счисления.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ - способы кодирования числовой информации, т.е. способ записи чисел с помощью некоторого алфавита, символы которого называют цифрами.
В древнем Вавилоне делили час на 60 мин., угол на 360 градусов, англосаксы начали делить год на 12 месяцев, сутки на два периода по 12 часов, продолжительность года 360 суток.
В Риме семь чисел обозначают буквами. 1-I, 5-V, 10-X, 50- L,100-C, 500-D, 1000-M, IV (4=5-1), VI (6=5+1)
Значение числа определяется как сумма или разность цифр числа.
Славяне числа кодировали буквами а=1, В=2, Г=3; чтобы избежать путаницы ставился специальный знак ~ титло АЛФАВИТНАЯ система счисления.
Славянская нумерация сохранялась до конца XVII века.
При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация. Славянская нумерация сохранилась в богослужебных книгах.
Самой популярной системой кодирования чисел оказалась позиционная, десятичная.
Используются десять цифр. Значение каждой определяется той позицией, которую цифра занимает в записи числа.
Эта система пришла из Индии, где она появилась не позднее VI века,европейцы заимствовали ее у арабов, назвав ее арабской. Из арабского языка заимствовано слово "цифра".
Причина ее возникновения анатомическая-10 пальцев АНАТОМИЧЕСКАЯ система счисления (существовали пятиричные, двадцатиричные системы счисления)
В десятичной позиционной системе особую роль играет число 10 и его степени
ЛЮБОЕ ЧИСЛО В НУЛЕВОЙ СТЕПЕНИ РАВНО ЕДИНИЦЕ 0,10 = 1
Т.е. любое 4-х значное число можно записать в следующем виде:
N=a₃*10²+a₂*10²+a₁*10¹+a₀*10⁰
a3, a2, a1, a0-десятичные цифры, от 1 до 9 или коэффициенты 3 2 1 0 -разряды, степени
число 10 со степенями называют основанием системы счисления
Если взять за основание 60, то придется использовать 60 разных цифр.
Такая система была в Древнем Вавилоне. Если основанием возьмем 2, получим систему всего с двумя цифрами:
0 и 1. К сожалению в этой системе даже небольшие числа записываются слишком длинно, так 1995 в двоичной системе записывается
1995₁₀=11111001011₂
Система счисления, где 2 является основанием системы называется ДВОИЧНОЙ СИСТЕМОЙ СЧИСЛЕНИЯ относится к МАШИННОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ, к машинным
системам счисления относятся и восьмиричная и шестнадцатиричная. То есть существуют следующие системы счисления: ВАВИЛОНСКАЯ,РИМСКАЯ,АЛФАВИТНЫЕ,
АНАТОМИЧЕСКИЕ, МАШИННЫЕ
Системы счисления делятся так же на ПОЗИЦИОННЫЕ И НЕПОЗИЦИОННЫЕ .
ПЕРЕВОД ИЗ ДВОИЧНОЙ В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ
В двоичной системе особую роль играет двойка и ее степени.
ПЕРЕВОД В ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Пусть нужно перевести в двоичную систему число 234. Будем делить 234 последовательно на 2 и запоминать остатки, не забывая про нулевые.
Выписав все остатки, начиная с последнего 3 в обратном порядке,получим двоичное разложение числа.
234₁₀ = 11101010₂
ВОСЬМЕРИЧНАЯ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Запись числа в двоичной системе удобна для компьютера, но громоздка для человека. На помощь приходят системы, родственные двоичной ВОСЬМИРИЧНАЯ СИСТЕМА
СЧИСЛЕНИЯ использует 8 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7.
Единица, записанная в самом младшем разряде означает просто единицу (1*8 в нулевой степени), та же единица в следующем разряде
обозначает 8 (1*8 в первой), в следующем 64(1*8 во второй) и т.д.
2 1 0 1- разряды (степени восьмерки)
8 - это 2 в третьей степени. При переводе в восьмиричную систему двоичное число из трех записывается одной цифрой.
Для перевода из двоичной в восьмиричную число, записанное в двоичной системе делим на триады справа налево.
Для перевода числа из восьмиричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на ее перевод в двоичную систему, представив каждую
цифру в виде триады (1 в двоичной системе 1 добавляем до триады впереди 00)

6	1	1
110	001	001

Еще компактней выглядит запись двоичного числа в ШЕСТНАДЦАТИРИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ.
Для первых 10 из 16 шестнадцатиричных цифр используются привычные цифры 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, а для остальных используют первые буквы латинского алфавита

A-10 D-13
B-11 E-14
C-12 F-15

Цифра 1 в самом младшем разряде означает 1, в следующем разряде означает 16 (в первой степени), в следующем разряде 16*16 (16²)=256
Цифра F, записанная в самом младшем разряде означает 15 в десятичной системе, F в следующем разряде означает 15*16 в первой степени в десятичной системе и т.д.
16 - это 2 в четвертой степени. При переводе из двоичной системы в шестнадцатиричную число двоичное число из 4-х цифр кодируется числом из одной цифры в шестнадцатиричной системе.
Для перевода числа из шестнадцатеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на ее перевод в двоичную,
представив каждую цифру в виде сочетания четырех 1 и 0

A	O	F	AOF
1010	0000	1111	16

Как осуществить перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатиричную?
Необходимо разбить число, записанное в двоичной системе на группы по 4 разряда справа налево, заменив каждую группу одной шестнадцатиричной цифрой

Сайт создан в системе uCoz